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Populaire Trigonométrie >

5sin^2(x)>=-2cos(x)

Solution

5 sin^{2} (x) \geq - 2 cos (x)

Solution

- arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn

La notation des intervalles

[- arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn, arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn]

Décimale

- 2.53186 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.53186 \dots + 2 πn

étapes des solutions

5 sin^{2} (x) \geq - 2 cos (x)

Déplacer

2 cos (x)

vers la gauche

5 sin^{2} (x) \geq - 2 cos (x)

Ajouter

2 cos (x)

aux deux côtés

5 sin^{2} (x) + 2 cos (x) \geq - 2 cos (x) + 2 cos (x)

5 sin^{2} (x) + 2 cos (x) \geq 0

5 sin^{2} (x) + 2 cos (x) \geq 0

Utiliser les identités suivantes:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Par conséquent

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

5 (1 - cos^{2} (x)) + 2 cos (x) \geq 0

Soit :

u = cos (x)

5 (1 - u^{2}) + 2 u \geq 0

5 (1 - u^{2}) + 2 u \geq 0 : \frac{- 26 + 1}{5} \leq u \leq \frac{26 + 1}{5}

5 (1 - u^{2}) + 2 u \geq 0

Factoriser

5 (1 - u^{2}) + 2 u : - 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5} \geq 0

5 (1 - u^{2}) + 2 u

5 (1 - u^{2}) = - 5 (u + 1) (u - 1)

5 (1 - u^{2})

Factoriser

- u^{2} + 1 : - (u + 1) (u - 1)

- u^{2} + 1

Factoriser le terme commun

- 1

= - (u^{2} - 1)

Factoriser

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Récrire

1

comme

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= - (u + 1) (u - 1)

= - 5 (u + 1) (u - 1)

= - 5 (u + 1) (u - 1) + 2 u

Développer

- 5 (u + 1) (u - 1) + 2 u : - 5 u^{2} + 5 + 2 u

- 5 (u + 1) (u - 1) + 2 u

Développer

- 5 (u + 1) (u - 1) : - 5 u^{2} + 5

Développer

(u + 1) (u - 1) : u^{2} - 1

(u + 1) (u - 1)

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = u, b = 1

= u^{2} - 1^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= u^{2} - 1

= - 5 (u^{2} - 1)

Développer

- 5 (u^{2} - 1) : - 5 u^{2} + 5

- 5 (u^{2} - 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = - 5, b = u^{2}, c = 1

= - 5 u^{2} - (- 5) \cdot 1

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a

= - 5 u^{2} + 5 \cdot 1

Multiplier les nombres :

5 \cdot 1 = 5

= - 5 u^{2} + 5

= - 5 u^{2} + 5

= - 5 u^{2} + 5 + 2 u

= - 5 u^{2} + 5 + 2 u

Factoriser

- 5 u^{2} + 2 u + 5 : - (5 u^{2} - 2 u - 5)

- 5 u^{2} + 2 u + 5

Factoriser le terme commun

- 1

= - (5 u^{2} - 2 u - 5)

= - (5 u^{2} - 2 u - 5)

Compléter la carré

- (5 u^{2} - 2 u - 5) : - 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5}

- (5 u^{2} - 2 u - 5)

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c

- 5 u^{2} + 2 u + 5

Ecrire

- 5 u^{2} + 2 u + 5

sous la forme :

x^{2} + 2 a x + a^{2}

Factoriser

- 5

- 5 (u^{2} - \frac{2 u}{5} - 1)

2 a = - \frac{2}{5} : a = - \frac{1}{5}

2 a = - \frac{2}{5}

Diviser les deux côtés par

2

2 a = - \frac{2}{5}

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 a}{2} = \frac{- \frac{2}{5}}{2}

Simplifier

\frac{2 a}{2} = \frac{- \frac{2}{5}}{2}

Simplifier

\frac{2 a}{2} : a

\frac{2 a}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= a

Simplifier

\frac{- \frac{2}{5}}{2} : - \frac{1}{5}

\frac{- \frac{2}{5}}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{2}{5}}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{2}{5}}{2} = \frac{2}{5 \cdot 2}

= - \frac{2}{5 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

5 \cdot 2 = 10

= - \frac{2}{10}

Annuler le facteur commun :

2

= - \frac{1}{5}

a = - \frac{1}{5}

a = - \frac{1}{5}

a = - \frac{1}{5}

Additionner et soustraire

(- \frac{1}{5})^{2}

- 5 (u^{2} - \frac{2 u}{5} - 1 + (- \frac{1}{5})^{2} - (- \frac{1}{5})^{2})

x^{2} + 2 a x + a^{2} = (x + a)^{2}

u^{2} - \frac{2}{5} u + (- \frac{1}{5})^{2} = (u - \frac{1}{5})^{2}

- 5 ((u - \frac{1}{5})^{2} - 1 - (- \frac{1}{5})^{2})

Simplifier

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5}

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5} \geq 0

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5} \geq 0

Déplacer

\frac{26}{5}

vers la droite

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5} \geq 0

Soustraire

\frac{26}{5}

des deux côtés

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5} - \frac{26}{5} \geq 0 - \frac{26}{5}

Simplifier

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} \geq - \frac{26}{5}

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} \geq - \frac{26}{5}

Multiplier les deux côtés par

- 1

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} \geq - \frac{26}{5}

Multiplier les deux côtés par -1 (inverse l'inégalité)

(- 5 (u - \frac{1}{5})^{2}) (- 1) \leq (- \frac{26}{5}) (- 1)

Simplifier

5 (u - \frac{1}{5})^{2} \leq \frac{26}{5}

5 (u - \frac{1}{5})^{2} \leq \frac{26}{5}

Diviser les deux côtés par

5

5 (u - \frac{1}{5})^{2} \leq \frac{26}{5}

Diviser les deux côtés par

5

\frac{5 ( u - \frac{1}{5} ) ^{2}}{5} \leq \frac{\frac{26}{5}}{5}

Simplifier

\frac{5 ( u - \frac{1}{5} ) ^{2}}{5} \leq \frac{\frac{26}{5}}{5}

Simplifier

\frac{5 ( u - \frac{1}{5} ) ^{2}}{5} : (u - \frac{1}{5})^{2}

\frac{5 ( u - \frac{1}{5} ) ^{2}}{5}

Diviser les nombres :

\frac{5}{5} = 1

= (u - \frac{1}{5})^{2}

Simplifier

\frac{\frac{26}{5}}{5} : \frac{26}{25}

\frac{\frac{26}{5}}{5}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{26}{5 \cdot 5}

Multiplier les nombres :

5 \cdot 5 = 25

= \frac{26}{25}

(u - \frac{1}{5})^{2} \leq \frac{26}{25}

(u - \frac{1}{5})^{2} \leq \frac{26}{25}

(u - \frac{1}{5})^{2} \leq \frac{26}{25}

Pour

u^{n} \leq a

, si

n

est pair alors

- n a \leq u \leq n a

- \frac{26}{25} \leq u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{25}

a \leq u \leq b

alors

a \leq u and u \leq b

- \frac{26}{25} \leq u - \frac{1}{5} and u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{25}

- \frac{26}{25} \leq u - \frac{1}{5} : u \geq \frac{- 26 + 1}{5}

- \frac{26}{25} \leq u - \frac{1}{5}

Transposer les termes des côtés

u - \frac{1}{5} \geq - \frac{26}{25}

Simplifier

\frac{26}{25} : \frac{26}{5}

\frac{26}{25}

Appliquer la règle des radicaux :

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

en supposant

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{26}{25}

25 = 5

25

Factoriser le nombre :

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

= \frac{26}{5}

u - \frac{1}{5} \geq - \frac{26}{5}

Déplacer

\frac{1}{5}

vers la droite

u - \frac{1}{5} \geq - \frac{26}{5}

Ajouter

\frac{1}{5}

aux deux côtés

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \geq - \frac{26}{5} + \frac{1}{5}

Simplifier

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \geq - \frac{26}{5} + \frac{1}{5}

Simplifier

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} : u

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5}

Additionner les éléments similaires :

- \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \geq 0

= u

Simplifier

- \frac{26}{5} + \frac{1}{5} : \frac{- 26 + 1}{5}

- \frac{26}{5} + \frac{1}{5}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 26 + 1}{5}

u \geq \frac{- 26 + 1}{5}

u \geq \frac{- 26 + 1}{5}

u \geq \frac{- 26 + 1}{5}

u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{25} : u \leq \frac{26 + 1}{5}

u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{25}

Appliquer la règle des radicaux :

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

en supposant

a \geq 0, b \geq 0

u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{25}

25 = 5

25

Factoriser le nombre :

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{5}

Déplacer

\frac{1}{5}

vers la droite

u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{5}

Ajouter

\frac{1}{5}

aux deux côtés

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \leq \frac{26}{5} + \frac{1}{5}

Simplifier

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \leq \frac{26}{5} + \frac{1}{5}

Simplifier

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} : u

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5}

Additionner les éléments similaires :

- \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \leq 0

= u

Simplifier

\frac{26}{5} + \frac{1}{5} : \frac{26 + 1}{5}

\frac{26}{5} + \frac{1}{5}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{26 + 1}{5}

u \leq \frac{26 + 1}{5}

u \leq \frac{26 + 1}{5}

u \leq \frac{26 + 1}{5}

Réunir les intervalles

u \geq \frac{- 26 + 1}{5} and u \leq \frac{26 + 1}{5}

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

u \geq \frac{- 26 + 1}{5} and u \leq \frac{26 + 1}{5}

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

u \geq \frac{- 26 + 1}{5}

u \leq \frac{26 + 1}{5}

\frac{- 26 + 1}{5} \leq u \leq \frac{26 + 1}{5}

\frac{- 26 + 1}{5} \leq u \leq \frac{26 + 1}{5}

\frac{- 26 + 1}{5} \leq u \leq \frac{26 + 1}{5}

Remplacer

u = cos (x)

\frac{- 26 + 1}{5} \leq cos (x) \leq \frac{26 + 1}{5}

a \leq u \leq b

alors

a \leq u and u \leq b

\frac{- 26 + 1}{5} \leq cos (x) and cos (x) \leq \frac{26 + 1}{5}

\frac{- 26 + 1}{5} \leq cos (x) : - arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn

\frac{- 26 + 1}{5} \leq cos (x)

Transposer les termes des côtés

cos (x) \geq \frac{- 26 + 1}{5}

Pour

cos (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

alors

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn

cos (x) \leq \frac{26 + 1}{5} :

Vrai pour toute

x \in R

cos (x) \leq \frac{26 + 1}{5}

Plage de

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Définition de la plage de fonction

La plage de la base de la fonction

cos

est

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \leq \frac{26 + 1}{5} and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Soit

y = cos (x)

Réunir les intervalles

y \leq \frac{26 + 1}{5} and - 1 \leq y \leq 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

y \leq \frac{26 + 1}{5} and - 1 \leq y \leq 1

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

y \leq \frac{26 + 1}{5}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vrai pour toute x

Vrai pour toute x \in R

Réunir les intervalles

- arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn and Vrai pour toute x \in R

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

- arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn

Exemples populaires

sin(3x)cos(3x)-1/4 >= 0