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Populaire Trigonométrie >

sec^2(x)<= 2

Solution

sec^{2} (x) \leq 2

Solution

- \frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{4} + 2 πn

La notation des intervalles

[- \frac{π}{4} + 2 πn, \frac{π}{4} + 2 πn] \cup [\frac{3 π}{4} + 2 πn, \frac{5 π}{4} + 2 πn]

Décimale

- 0.78539 \dots + 2 πn \leq x \leq 0.78539 \dots + 2 πn or 2.35619 \dots + 2 πn \leq x \leq 3.92699 \dots + 2 πn

étapes des solutions

sec^{2} (x) \leq 2

Exprimer avec sinus, cosinus

sec^{2} (x) \leq 2

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} \leq 2

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} \leq 2

Pour

u^{n} \leq a

, si

n

est pair alors

- n a \leq u \leq n a

- 2 \leq \frac{1}{cos ( x )} \leq 2

a \leq u \leq b

alors

a \leq u and u \leq b

- 2 \leq \frac{1}{cos ( x )} and \frac{1}{cos ( x )} \leq 2

- 2 \leq \frac{1}{cos ( x )} : cos (x) \leq - \frac{2}{2} or cos (x) > 0

- 2 \leq \frac{1}{cos ( x )}

Transposer les termes des côtés

\frac{1}{cos ( x )} \geq - 2

Récrire sous la forme standard

\frac{1}{cos ( x )} \geq - 2

Ajouter

2

aux deux côtés

\frac{1}{cos ( x )} + 2 \geq - 2 + 2

Simplifier

\frac{1}{cos ( x )} + 2 \geq 0

Simplifier

\frac{1}{cos ( x )} + 2 : \frac{1 + 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} + 2

Convertir un élément en fraction:

2 = \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} + \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1 + 2 cos ( x )}{cos ( x )} \geq 0

\frac{1 + 2 cos ( x )}{cos ( x )} \geq 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

\frac{1 + 2 cos ( x )}{cos ( x )}

Trouver les signes de

1 + 2 cos (x)

1 + 2 cos (x) = 0 : cos (x) = - \frac{2}{2}

1 + 2 cos (x) = 0

Déplacer

1

vers la droite

1 + 2 cos (x) = 0

Soustraire

1

des deux côtés

1 + 2 cos (x) - 1 = 0 - 1

Simplifier

2 cos (x) = - 1

2 cos (x) = - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 cos (x) = - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 cos ( x )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 cos ( x )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 cos ( x )}{2} : cos (x)

\frac{2 cos ( x )}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= cos (x)

Simplifier

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Simplifier

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

cos (x) = - \frac{2}{2}

cos (x) = - \frac{2}{2}

cos (x) = - \frac{2}{2}

1 + 2 cos (x) < 0 : cos (x) < - \frac{2}{2}

1 + 2 cos (x) < 0

Déplacer

1

vers la droite

1 + 2 cos (x) < 0

Soustraire

1

des deux côtés

1 + 2 cos (x) - 1 < 0 - 1

Simplifier

2 cos (x) < - 1

2 cos (x) < - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 cos (x) < - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 cos ( x )}{2} < \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 cos ( x )}{2} < \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 cos ( x )}{2} : cos (x)

\frac{2 cos ( x )}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= cos (x)

Simplifier

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Simplifier

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

cos (x) < - \frac{2}{2}

cos (x) < - \frac{2}{2}

cos (x) < - \frac{2}{2}

1 + 2 cos (x) > 0 : cos (x) > - \frac{2}{2}

1 + 2 cos (x) > 0

Déplacer

1

vers la droite

1 + 2 cos (x) > 0

Soustraire

1

des deux côtés

1 + 2 cos (x) - 1 > 0 - 1

Simplifier

2 cos (x) > - 1

2 cos (x) > - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 cos (x) > - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 cos ( x )}{2} > \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 cos ( x )}{2} > \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 cos ( x )}{2} : cos (x)

\frac{2 cos ( x )}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= cos (x)

Simplifier

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Simplifier

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

cos (x) > - \frac{2}{2}

cos (x) > - \frac{2}{2}

cos (x) > - \frac{2}{2}

Trouver les signes de

cos (x)

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

Trouver les points de singularité

Trouver les zéros du dénominateur

cos (x) : cos (x) = 0

Récapituler dans un tableau:

1 + 2 cos (x) cos (x) \frac{1 + 2 c o s ( x )}{c o s ( x )} cos (x) < - \frac{2}{2} - - + cos (x) = - \frac{2}{2} 0 - 0 - \frac{2}{2} < cos (x) < 0 + - - cos (x) = 0 + 0 Ind \overset{e}{ˊ} fini cos (x) > 0 + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

\geq 0

cos (x) < - \frac{2}{2} or cos (x) = - \frac{2}{2} or cos (x) > 0

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

cos (x) \leq - \frac{2}{2} or cos (x) > 0

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

cos (x) < - \frac{2}{2}

cos (x) = - \frac{2}{2}

cos (x) \leq - \frac{2}{2}

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

cos (x) \leq - \frac{2}{2}

cos (x) > 0

cos (x) \leq - \frac{2}{2} or cos (x) > 0

cos (x) \leq - \frac{2}{2} or cos (x) > 0

cos (x) \leq - \frac{2}{2} or cos (x) > 0

\frac{1}{cos ( x )} \leq 2 : cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{2}{2}

\frac{1}{cos ( x )} \leq 2

Récrire sous la forme standard

\frac{1}{cos ( x )} \leq 2

Soustraire

2

des deux côtés

\frac{1}{cos ( x )} - 2 \leq 2 - 2

Simplifier

\frac{1}{cos ( x )} - 2 \leq 0

Simplifier

\frac{1}{cos ( x )} - 2 : \frac{1 - 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} - 2

Convertir un élément en fraction:

2 = \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} - \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1 - 2 cos ( x )}{cos ( x )} \leq 0

\frac{1 - 2 cos ( x )}{cos ( x )} \leq 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

\frac{1 - 2 cos ( x )}{cos ( x )}

Trouver les signes de

1 - 2 cos (x)

1 - 2 cos (x) = 0 : cos (x) = \frac{2}{2}

1 - 2 cos (x) = 0

Déplacer

1

vers la droite

1 - 2 cos (x) = 0

Soustraire

1

des deux côtés

1 - 2 cos (x) - 1 = 0 - 1

Simplifier

- 2 cos (x) = - 1

- 2 cos (x) = - 1

Diviser les deux côtés par

- 2

- 2 cos (x) = - 1

Diviser les deux côtés par

- 2

\frac{- 2 cos ( x )}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

Simplifier

\frac{- 2 cos ( x )}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

Simplifier

\frac{- 2 cos ( x )}{- 2} : cos (x)

\frac{- 2 cos ( x )}{- 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= cos (x)

Simplifier

\frac{- 1}{- 2} : \frac{2}{2}

\frac{- 1}{- 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{1}{2}

Simplifier

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2}

cos (x) = \frac{2}{2}

cos (x) = \frac{2}{2}

cos (x) = \frac{2}{2}

1 - 2 cos (x) < 0 : cos (x) > \frac{2}{2}

1 - 2 cos (x) < 0

Déplacer

1

vers la droite

1 - 2 cos (x) < 0

Soustraire

1

des deux côtés

1 - 2 cos (x) - 1 < 0 - 1

Simplifier

- 2 cos (x) < - 1

- 2 cos (x) < - 1

Multiplier les deux côtés par

- 1

- 2 cos (x) < - 1

Multiplier les deux côtés par -1 (inverse l'inégalité)

(- 2 cos (x)) (- 1) > (- 1) (- 1)

Simplifier

2 cos (x) > 1

2 cos (x) > 1

Diviser les deux côtés par

2

2 cos (x) > 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 cos ( x )}{2} > \frac{1}{2}

Simplifier

\frac{2 cos ( x )}{2} > \frac{1}{2}

Simplifier

\frac{2 cos ( x )}{2} : cos (x)

\frac{2 cos ( x )}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= cos (x)

Simplifier

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

cos (x) > \frac{2}{2}

cos (x) > \frac{2}{2}

cos (x) > \frac{2}{2}

1 - 2 cos (x) > 0 : cos (x) < \frac{2}{2}

1 - 2 cos (x) > 0

Déplacer

1

vers la droite

1 - 2 cos (x) > 0

Soustraire

1

des deux côtés

1 - 2 cos (x) - 1 > 0 - 1

Simplifier

- 2 cos (x) > - 1

- 2 cos (x) > - 1

Multiplier les deux côtés par

- 1

- 2 cos (x) > - 1

Multiplier les deux côtés par -1 (inverse l'inégalité)

(- 2 cos (x)) (- 1) < (- 1) (- 1)

Simplifier

2 cos (x) < 1

2 cos (x) < 1

Diviser les deux côtés par

2

2 cos (x) < 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 cos ( x )}{2} < \frac{1}{2}

Simplifier

\frac{2 cos ( x )}{2} < \frac{1}{2}

Simplifier

\frac{2 cos ( x )}{2} : cos (x)

\frac{2 cos ( x )}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= cos (x)

Simplifier

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

cos (x) < \frac{2}{2}

cos (x) < \frac{2}{2}

cos (x) < \frac{2}{2}

Trouver les signes de

cos (x)

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

Trouver les points de singularité

Trouver les zéros du dénominateur

cos (x) : cos (x) = 0

Récapituler dans un tableau:

1 - 2 cos (x) cos (x) \frac{1 - 2 c o s ( x )}{c o s ( x )} cos (x) < 0 + - - cos (x) = 0 + 0 Ind \overset{e}{ˊ} fini 0 < cos (x) < \frac{2}{2} + + + cos (x) = \frac{2}{2} 0 + 0 cos (x) > \frac{2}{2} - + -

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

\leq 0

cos (x) < 0 or cos (x) = \frac{2}{2} or cos (x) > \frac{2}{2}

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

cos (x) < 0 or cos (x) = \frac{2}{2} or cos (x) > \frac{2}{2}

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

cos (x) < 0

cos (x) = \frac{2}{2}

cos (x) < 0 or cos (x) = \frac{2}{2}

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

cos (x) < 0 or cos (x) = \frac{2}{2}

cos (x) > \frac{2}{2}

cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{2}{2}

cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{2}{2}

cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{2}{2}

Réunir les intervalles

(cos (x) \leq - \frac{2}{2} or cos (x) > 0) and (cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{2}{2})

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

cos (x) \leq - \frac{2}{2} or cos (x) > 0 and cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{2}{2}

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

cos (x) \leq - \frac{2}{2} or cos (x) > 0

cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{2}{2}

cos (x) \leq - \frac{2}{2} or cos (x) \geq \frac{2}{2}

cos (x) \leq - \frac{2}{2} or cos (x) \geq \frac{2}{2}

cos (x) \leq - \frac{2}{2} : \frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{4} + 2 πn

cos (x) \leq - \frac{2}{2}

Pour

cos (x) \leq a

, si

- 1 < a < 1

alors

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn

Simplifier

arccos (- \frac{2}{2}) : \frac{3 π}{4}

arccos (- \frac{2}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arccos (- \frac{2}{2}) = \frac{3 π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{3 π}{4}

Simplifier

2 π - arccos (- \frac{2}{2}) : \frac{5 π}{4}

2 π - arccos (- \frac{2}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arccos (- \frac{2}{2}) = \frac{3 π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{3 π}{4}

Simplifier

2 π - \frac{3 π}{4}

Convertir un élément en fraction:

2 π = \frac{2 π 4}{4}

= \frac{2 π 4}{4} - \frac{3 π}{4}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 4 - 3 π}{4}

2 π 4 - 3 π = 5 π

2 π 4 - 3 π

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= 8 π - 3 π

Additionner les éléments similaires :

8 π - 3 π = 5 π

= 5 π

= \frac{5 π}{4}

= \frac{5 π}{4}

\frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{4} + 2 πn

cos (x) \geq \frac{2}{2} : - \frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn

cos (x) \geq \frac{2}{2}

Pour

cos (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

alors

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn

Simplifier

- arccos (\frac{2}{2}) : - \frac{π}{4}

- arccos (\frac{2}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arccos (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{4}

Simplifier

arccos (\frac{2}{2}) : \frac{π}{4}

arccos (\frac{2}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arccos (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

- \frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn

Réunir les intervalles

\frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{4} + 2 πn or - \frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

- \frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{4} + 2 πn

Exemples populaires

2cos(x)<1

cos(x)-sin(x)>= 0

sin(x)<-(sqrt(3))/2

(sin(x)(2cos(x)+1))/(sin(x)+cos(x))<0

2sin^2(x)+3sin(x)+1<0