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Populaire Trigonométrie >

tan(x)-cot(x)>0

Solution

tan (x) - cot (x) > 0

Solution

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x < π + πn

La notation des intervalles

(\frac{π}{4} + πn, \frac{π}{2} + πn) \cup (\frac{3 π}{4} + πn, π + πn)

Décimale

0.78539 \dots + πn < x < 1.57079 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn < x < 3.14159 \dots + πn

étapes des solutions

tan (x) - cot (x) > 0

Périodicité de

tan (x) - cot (x) : π

La périodicité composée de la somme des fonctions périodiques est le plus petit commun multiple des périodes

tan (x), cot (x)

Périodicité de

tan (x) : π

La périodicité de

tan (x)

est

π

= π

Périodicité de

cot (x) : π

La périodicité de

cot (x)

est

π

= π

Combiner des périodes :

π, π

= π

Exprimer avec sinus, cosinus

tan (x) - cot (x) > 0

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - cot (x) > 0

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{cos ( x )}{sin ( x )} > 0

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{cos ( x )}{sin ( x )} > 0

Simplifier

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{cos ( x )}{sin ( x )} : \frac{sin ^{2} ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Plus petit commun multiple de

cos (x), sin (x) : cos (x) sin (x)

cos (x), sin (x)

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

cos (x)

ou dans

sin (x)

= cos (x) sin (x)

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

cos (x) sin (x)

Pour

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

sin (x)

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) sin ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Pour

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

cos (x)

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} - \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

\frac{sin ^{2} ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} > 0

Trouver les points zéros et les points non définis de

\frac{sin ^{2} ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

pour

0 \leq x < π

Pour trouver les points zéros, définir l'inégalité à zéro

\frac{sin ^{2} ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = 0

\frac{sin ^{2} ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

\frac{sin ^{2} ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = 0, 0 \leq x < π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

sin^{2} (x) - cos^{2} (x)

Utiliser l'identité d'angle double:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

- cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = - cos (2 x)

= - cos (2 x)

- cos (2 x) = 0

Diviser les deux côtés par

- 1

- cos (2 x) = 0

Diviser les deux côtés par

- 1

\frac{- cos ( 2 x )}{- 1} = \frac{0}{- 1}

Simplifier

cos (2 x) = 0

cos (2 x) = 0

Solutions générales pour

cos (2 x) = 0

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn, 2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn, 2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Résoudre

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn : x = \frac{π}{4} + πn

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplifier

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{4} + πn

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Résoudre

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn : x = \frac{3 π}{4} + πn

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplifier

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{3 π}{4} + πn

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} = \frac{3 π}{4}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn, x = \frac{3 π}{4} + πn

Solutions pour la plage

0 \leq x < π

x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

Trouver les points non définis:

x = \frac{π}{2}, x = 0

Trouver les zéros du dénominateur

cos (x) sin (x) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

cos (x) = 0 or sin (x) = 0

cos (x) = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{2}

cos (x) = 0, 0 \leq x < π

Solutions générales pour

cos (x) = 0

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq x < π

x = \frac{π}{2}

sin (x) = 0, 0 \leq x < π : x = 0

sin (x) = 0, 0 \leq x < π

Solutions générales pour

sin (x) = 0

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Résoudre

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq x < π

x = 0

Combiner toutes les solutions

x = \frac{π}{2}, x = 0

0, \frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}

Identifier les intervalles

0 < x < \frac{π}{4}, \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < x < π

Récapituler dans un tableau:

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) cos (x) sin (x) \frac{s i n ^{2} ( x ) - c o s ^{2} ( x )}{c o s ( x ) s i n ( x )} x = 0 - + 0 Ind \overset{e}{ˊ} fini 0 < x < \frac{π}{4} - + + - x = \frac{π}{4} 0 + + 0 \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} + + + + x = \frac{π}{2} + 0 + Ind \overset{e}{ˊ} fini \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4} + - + - x = \frac{3 π}{4} 0 - + 0 \frac{3 π}{4} < x < π - - + + x = π - - 0 Ind \overset{e}{ˊ} fini

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

> 0

\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x < π

Appliquer la périodicité de

tan (x) - cot (x)

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x < π + πn

Exemples populaires