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Populaire Trigonométrie >

cos(2x+pi/6)<=-1/2

Solution

cos (2 x + \frac{π}{6}) \leq - \frac{1}{2}

Solution

\frac{π}{4} + πn \leq x \leq \frac{7 π}{12} + πn

La notation des intervalles

[\frac{π}{4} + πn, \frac{7 π}{12} + πn]

Décimale

0.78539 \dots + πn \leq x \leq 1.83259 \dots + πn

étapes des solutions

cos (2 x + \frac{π}{6}) \leq - \frac{1}{2}

Pour

cos (x) \leq a

, si

- 1 < a < 1

alors

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq (2 x + \frac{π}{6}) \leq 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

a \leq u \leq b

alors

a \leq u and u \leq b

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x + \frac{π}{6} and 2 x + \frac{π}{6} \leq 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x + \frac{π}{6} : x \geq πn + \frac{π}{4}

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x + \frac{π}{6}

Transposer les termes des côtés

2 x + \frac{π}{6} \geq arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Simplifier

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn : \frac{2 π}{3} + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Utiliser l'identité triviale suivante:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3} + 2 πn

2 x + \frac{π}{6} \geq \frac{2 π}{3} + 2 πn

Déplacer

\frac{π}{6}

vers la droite

2 x + \frac{π}{6} \geq \frac{2 π}{3} + 2 πn

Soustraire

\frac{π}{6}

des deux côtés

2 x + \frac{π}{6} - \frac{π}{6} \geq \frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{6}

Simplifier

2 x + \frac{π}{6} - \frac{π}{6} \geq \frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{6}

Simplifier

2 x + \frac{π}{6} - \frac{π}{6} : 2 x

2 x + \frac{π}{6} - \frac{π}{6}

Additionner les éléments similaires :

\frac{π}{6} - \frac{π}{6} \geq 0

= 2 x

Simplifier

\frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{6} : 2 πn + \frac{π}{2}

\frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{6}

Grouper comme termes

= 2 πn - \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}

Plus petit commun multiple de

6, 3 : 6

6, 3

Plus petit commun multiple (PPCM)

Factorisation première de

6 : 2 \cdot 3

6

6

divisée par

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 3

Factorisation première de

3 : 3

3

3

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 3

Multiplier chaque facteur qui apparait le plus grand nombre de fois dans

6

3

= 2 \cdot 3

Multiplier les nombres :

2 \cdot 3 = 6

= 6

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

6

Pour

\frac{2 π}{3} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

2

\frac{2 π}{3} = \frac{2 π 2}{3 \cdot 2} = \frac{4 π}{6}

= - \frac{π}{6} + \frac{4 π}{6}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π + 4 π}{6}

Additionner les éléments similaires :

- π + 4 π = 3 π

= \frac{3 π}{6}

Annuler le facteur commun :

3

= 2 πn + \frac{π}{2}

2 x \geq 2 πn + \frac{π}{2}

2 x \geq 2 πn + \frac{π}{2}

2 x \geq 2 πn + \frac{π}{2}

Diviser les deux côtés par

2

2 x \geq 2 πn + \frac{π}{2}

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 x}{2} \geq \frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{π}{2}}{2}

Simplifier

\frac{2 x}{2} \geq \frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{π}{2}}{2}

Simplifier

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplifier

\frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{π}{2}}{2} : πn + \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{π}{2}}{2}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= πn

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

= πn + \frac{π}{4}

x \geq πn + \frac{π}{4}

x \geq πn + \frac{π}{4}

x \geq πn + \frac{π}{4}

2 x + \frac{π}{6} \leq 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn : x \leq \frac{7 π}{12} + πn

2 x + \frac{π}{6} \leq 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Simplifier

2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn : 2 π - \frac{2 π}{3} + 2 πn

2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Utiliser l'identité triviale suivante:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{2 π}{3} + 2 πn

2 x + \frac{π}{6} \leq 2 π - \frac{2 π}{3} + 2 πn

Déplacer

\frac{π}{6}

vers la droite

2 x + \frac{π}{6} \leq 2 π - \frac{2 π}{3} + 2 πn

Soustraire

\frac{π}{6}

des deux côtés

2 x + \frac{π}{6} - \frac{π}{6} \leq 2 π - \frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{6}

Simplifier

2 x + \frac{π}{6} - \frac{π}{6} \leq 2 π - \frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{6}

Simplifier

2 x + \frac{π}{6} - \frac{π}{6} : 2 x

2 x + \frac{π}{6} - \frac{π}{6}

Additionner les éléments similaires :

\frac{π}{6} - \frac{π}{6} \leq 0

= 2 x

Simplifier

2 π - \frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{6} : 2 π + 2 πn - \frac{5 π}{6}

2 π - \frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{6}

Grouper comme termes

= 2 π + 2 πn - \frac{π}{6} - \frac{2 π}{3}

Plus petit commun multiple de

6, 3 : 6

6, 3

Plus petit commun multiple (PPCM)

Factorisation première de

6 : 2 \cdot 3

6

6

divisée par

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 3

Factorisation première de

3 : 3

3

3

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 3

Multiplier chaque facteur qui apparait le plus grand nombre de fois dans

6

3

= 2 \cdot 3

Multiplier les nombres :

2 \cdot 3 = 6

= 6

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

6

Pour

\frac{2 π}{3} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

2

\frac{2 π}{3} = \frac{2 π 2}{3 \cdot 2} = \frac{4 π}{6}

= - \frac{π}{6} - \frac{4 π}{6}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π - 4 π}{6}

Additionner les éléments similaires :

- π - 4 π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{6}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= 2 π + 2 πn - \frac{5 π}{6}

2 x \leq 2 π + 2 πn - \frac{5 π}{6}

2 x \leq 2 π + 2 πn - \frac{5 π}{6}

2 x \leq 2 π + 2 πn - \frac{5 π}{6}

Diviser les deux côtés par

2

2 x \leq 2 π + 2 πn - \frac{5 π}{6}

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 x}{2} \leq \frac{2 π}{2} + \frac{2 πn}{2} - \frac{\frac{5 π}{6}}{2}

Simplifier

\frac{2 x}{2} \leq \frac{2 π}{2} + \frac{2 πn}{2} - \frac{\frac{5 π}{6}}{2}

Simplifier

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplifier

\frac{2 π}{2} + \frac{2 πn}{2} - \frac{\frac{5 π}{6}}{2} : π + πn - \frac{5 π}{12}

\frac{2 π}{2} + \frac{2 πn}{2} - \frac{\frac{5 π}{6}}{2}

\frac{2 π}{2} = π

\frac{2 π}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= π

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= πn

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} = \frac{5 π}{12}

\frac{\frac{5 π}{6}}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 π}{6 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

6 \cdot 2 = 12

= \frac{5 π}{12}

= π + πn - \frac{5 π}{12}

x \leq π + πn - \frac{5 π}{12}

x \leq π + πn - \frac{5 π}{12}

Simplifier

π - \frac{5 π}{12} : \frac{7 π}{12}

π - \frac{5 π}{12}

Convertir un élément en fraction:

π = \frac{π 12}{12}

= \frac{π 12}{12} - \frac{5 π}{12}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 12 - 5 π}{12}

Additionner les éléments similaires :

12 π - 5 π = 7 π

= \frac{7 π}{12}

x \leq \frac{7 π}{12} + πn

x \leq \frac{7 π}{12} + πn

Réunir les intervalles

x \geq πn + \frac{π}{4} and x \leq \frac{7 π}{12} + πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

\frac{π}{4} + πn \leq x \leq \frac{7 π}{12} + πn

Exemples populaires

cos(x/7)<= 1/2

sin(2t)>=-1/2

cos^2(x)-cos(x)-2>= 0

7cos^2(x)-5cos(x)+sin^2(x)<= 0

cos(-x)<0