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Populaire Trigonométrie >

1/((2-sin(x)))=sin(x)

Solution

\frac{1}{( 2 - sin ( x ) )} = sin (x)

Solution

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Degrés

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

\frac{1}{( 2 - sin ( x ) )} = sin (x)

Résoudre par substitution

\frac{1}{2 - sin ( x )} = sin (x)

Soit :

sin (x) = u

\frac{1}{2 - u} = u

\frac{1}{2 - u} = u : u = 1

\frac{1}{2 - u} = u

Multiplier les deux côtés par

2 - u

\frac{1}{2 - u} = u

Multiplier les deux côtés par

2 - u

\frac{1}{2 - u} (2 - u) = u (2 - u)

Simplifier

1 = u (2 - u)

1 = u (2 - u)

Résoudre

1 = u (2 - u) : u = 1

1 = u (2 - u)

Développer

u (2 - u) : 2 u - u^{2}

u (2 - u)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = u, b = 2, c = u

= u \cdot 2 - uu

= 2 u - uu

uu = u^{2}

uu

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= u^{2}

= 2 u - u^{2}

1 = 2 u - u^{2}

Transposer les termes des côtés

2 u - u^{2} = 1

Déplacer

1

vers la gauche

2 u - u^{2} = 1

Soustraire

1

des deux côtés

2 u - u^{2} - 1 = 1 - 1

Simplifier

2 u - u^{2} - 1 = 0

2 u - u^{2} - 1 = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + 2 u - 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- u^{2} + 2 u - 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 1, b = 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 1 ) ( - 1 )}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 1 ) ( - 1 )}{2 ( - 1 )}

2^{2} - 4 (- 1) (- 1) = 0

2^{2} - 4 (- 1) (- 1)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} - 4

2^{2} = 4

= 4 - 4

Soustraire les nombres :

4 - 4 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 0}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 2}{2 ( - 1 )}

\frac{- 2}{2 ( - 1 )} = 1

\frac{- 2}{2 ( - 1 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{- 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{2}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = 1

La solution de l'équation de forme quadratique est :

u = 1

u = 1

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

u = 2

Prendre le(s) dénominateur(s) de

\frac{1}{2 - u}

et le comparer à zéro

Résoudre

2 - u = 0 : u = 2

2 - u = 0

Déplacer

2

vers la droite

2 - u = 0

Soustraire

2

des deux côtés

2 - u - 2 = 0 - 2

Simplifier

- u = - 2

- u = - 2

Diviser les deux côtés par

- 1

- u = - 2

Diviser les deux côtés par

- 1

\frac{- u}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}

Simplifier

u = 2

u = 2

Les points suivants ne sont pas définis

u = 2

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

u = 1

Remplacer

u = sin (x)

sin (x) = 1

sin (x) = 1

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Solutions générales pour

sin (x) = 1

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

6sin(x)-3sin^2(x)=3-cos^2(x)

6 sin (x) - 3 sin^{2} (x) = 3 - cos^{2} (x)

1-tan^2(x)=a^2+b^2

1 - tan^{2} (x) = a^{2} + b^{2}

4sin(x)-4sin^3(x)=0

4 sin (x) - 4 sin^{3} (x) = 0

5tan^4(x)-10tan^2(x)+1=0

5 tan^{4} (x) - 10 tan^{2} (x) + 1 = 0

6tan(x)=8

6 tan (x) = 8