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Populaire Trigonométrie >

cos^4(x)-2cos^2(x)+1=0

Solution

cos^{4} (x) - 2 cos^{2} (x) + 1 = 0

Solution

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Degrés

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

cos^{4} (x) - 2 cos^{2} (x) + 1 = 0

Résoudre par substitution

cos^{4} (x) - 2 cos^{2} (x) + 1 = 0

Soit :

cos (x) = u

u^{4} - 2 u^{2} + 1 = 0

u^{4} - 2 u^{2} + 1 = 0 : u = 1, u = - 1

u^{4} - 2 u^{2} + 1 = 0

Récrire l'équation avec

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

v^{2} - 2 v + 1 = 0

Résoudre

v^{2} - 2 v + 1 = 0 : v = 1

v^{2} - 2 v + 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

v^{2} - 2 v + 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 1, b = - 2, c = 1

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} - 4

2^{2} = 4

= 4 - 4

Soustraire les nombres :

4 - 4 = 0

= 0

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 0}{2 \cdot 1}

v = \frac{- ( - 2 )}{2 \cdot 1}

\frac{- ( - 2 )}{2 \cdot 1} = 1

\frac{- ( - 2 )}{2 \cdot 1}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{2}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{2}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= 1

v = 1

La solution de l'équation de forme quadratique est :

v = 1

v = 1

Resubstituer

v = u^{2},

résoudre pour

u

Résoudre

u^{2} = 1 : u = 1, u = - 1

u^{2} = 1

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Appliquer la règle

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Appliquer la règle

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Les solutions sont

u = 1, u = - 1

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = 1, cos (x) = - 1

cos (x) = 1, cos (x) = - 1

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Solutions générales pour

cos (x) = 1

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Résoudre

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Solutions générales pour

cos (x) = - 1

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

sin^2(x)+cos^2(x)+cos(x)=2

(sin^3(x))/(sin(x))=0

sin(135-x)=sin(x)

tan(x)-4=-1

4cos^2(x)-8cos(x)+3=0