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prouver 1-(sin(x)-cos(x))^2=sin(2x)

Solution

prove

vrai

étapes des solutions

1 - (sin (x) - cos (x))^{2} = sin (2 x)

En manipulant le côté gauche

1 - (sin (x) - cos (x))^{2}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

1 - (sin (x) - cos (x))^{2}

Utiliser l'identité hyperbolique:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

= cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - (sin (x) - cos (x))^{2}

Simplifier

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - (sin (x) - cos (x))^{2} : 2 sin (x) cos (x)

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - (sin (x) - cos (x))^{2}

(sin (x) - cos (x))^{2} : sin^{2} (x) - 2 sin (x) cos (x) + cos^{2} (x)

Appliquer la formule du carré parfait:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = sin (x), b = cos (x)

= sin^{2} (x) - 2 sin (x) cos (x) + cos^{2} (x)

= cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - (sin^{2} (x) - 2 sin (x) cos (x) + cos^{2} (x))

- (sin^{2} (x) - 2 sin (x) cos (x) + cos^{2} (x)) : - sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) - cos^{2} (x)

- (sin^{2} (x) - 2 sin (x) cos (x) + cos^{2} (x))

Distribuer des parenthèses

= - (sin^{2} (x)) - (- 2 sin (x) cos (x)) - (cos^{2} (x))

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a, - (a) = - a

= - sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) - cos^{2} (x)

= cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) - cos^{2} (x)

Simplifier

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) - cos^{2} (x) : 2 sin (x) cos (x)

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) - cos^{2} (x)

Additionner les éléments similaires :

cos^{2} (x) - cos^{2} (x) = 0

= sin^{2} (x) - sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x)

Additionner les éléments similaires :

sin^{2} (x) - sin^{2} (x) = 0

= 2 sin (x) cos (x)

= 2 sin (x) cos (x)

= 2 sin (x) cos (x)

Utiliser l'identité d'angle double:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= sin (2 x)

= sin (2 x)

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai