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Populaire Trigonométrie >

solvefor x,tan(x)+sec(x)=2cos(x)

Solution

résoudre pour

x, tan (x) + sec (x) = 2 cos (x)

Solution

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Degrés

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

tan (x) + sec (x) = 2 cos (x)

Soustraire

2 cos (x)

des deux côtés

tan (x) + sec (x) - 2 cos (x) = 0

Exprimer avec sinus, cosinus

sec (x) + tan (x) - 2 cos (x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} + tan (x) - 2 cos (x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 2 cos (x)

Simplifier

\frac{1}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 2 cos (x) : \frac{1 + sin ( x ) - 2 cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 2 cos (x)

Combiner les fractions

\frac{1}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{1 + sin ( x )}{cos ( x )}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) + 1}{cos ( x )} - 2 cos (x)

Convertir un élément en fraction:

2 cos (x) = \frac{2 cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 + sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{2 cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sin ( x ) - 2 cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

1 + sin (x) - 2 cos (x) cos (x) = 1 + sin (x) - 2 cos^{2} (x)

1 + sin (x) - 2 cos (x) cos (x)

2 cos (x) cos (x) = 2 cos^{2} (x)

2 cos (x) cos (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 2 cos^{1 + 1} (x)

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 2 cos^{2} (x)

= 1 + sin (x) - 2 cos^{2} (x)

= \frac{1 + sin ( x ) - 2 cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 + sin ( x ) - 2 cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

\frac{1 + sin ( x ) - 2 cos ^{2} ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 + sin (x) - 2 cos^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

1 + sin (x) - 2 cos^{2} (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 + sin (x) - 2 (1 - sin^{2} (x))

Simplifier

1 + sin (x) - 2 (1 - sin^{2} (x)) : 2 sin^{2} (x) + sin (x) - 1

1 + sin (x) - 2 (1 - sin^{2} (x))

Développer

- 2 (1 - sin^{2} (x)) : - 2 + 2 sin^{2} (x)

- 2 (1 - sin^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 2 \cdot 1 - (- 2) sin^{2} (x)

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 + 2 sin^{2} (x)

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 sin^{2} (x)

= 1 + sin (x) - 2 + 2 sin^{2} (x)

Simplifier

1 + sin (x) - 2 + 2 sin^{2} (x) : 2 sin^{2} (x) + sin (x) - 1

1 + sin (x) - 2 + 2 sin^{2} (x)

Grouper comme termes

= sin (x) + 2 sin^{2} (x) + 1 - 2

Additionner/Soustraire les nombres :

1 - 2 = - 1

= 2 sin^{2} (x) + sin (x) - 1

= 2 sin^{2} (x) + sin (x) - 1

= 2 sin^{2} (x) + sin (x) - 1

- 1 + sin (x) + 2 sin^{2} (x) = 0

Résoudre par substitution

- 1 + sin (x) + 2 sin^{2} (x) = 0

Soit :

sin (x) = u

- 1 + u + 2 u^{2} = 0

- 1 + u + 2 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - 1

- 1 + u + 2 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} + u - 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

2 u^{2} + u - 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 2, b = 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

1^{2} - 4 \cdot 2 (- 1) = 3

1^{2} - 4 \cdot 2 (- 1)

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 2 (- 1)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 1 + 8

Additionner les nombres :

1 + 8 = 9

= 9

Factoriser le nombre :

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2 \cdot 2}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2}

Additionner/Soustraire les nombres :

- 1 + 3 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2} : - 1

\frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2}

Soustraire les nombres :

- 1 - 3 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{4}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{1}{2}, u = - 1

Remplacer

u = sin (x)

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - 1

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - 1

sin (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2}

Solutions générales pour

sin (x) = \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Solutions générales pour

sin (x) = - 1

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Puisque l'équation n'est pas définie pour :

\frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

cos(θ)=-(sqrt(2))/2

cos (θ) = - \frac{2}{2}

tan(θ)-3cot(θ)=0

tan (θ) - 3 cot (θ) = 0

cot(-pi/2)

cot (- \frac{π}{2})

sin^2(x)+sin(x)=0

sin^{2} (x) + sin (x) = 0

sin(15)

sin (1 5^{\circ})