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Populaire Trigonométrie >

arccos(x)-arcsin(x)=arcsin(1-x)

Solution

arccos (x) - arcsin (x) = arcsin (1 - x)

Solution

x = 0, x = \frac{1}{2}

étapes des solutions

arccos (x) - arcsin (x) = arcsin (1 - x)

a = b \Rightarrow sin (a) = sin (b)

sin (arccos (x) - arcsin (x)) = sin (arcsin (1 - x))

Utiliser les identités suivantes:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

sin (arccos (x)) cos (arcsin (x)) - cos (arccos (x)) sin (arcsin (x)) = sin (arcsin (1 - x))

Utiliser l'identité suivante :

sin (arccos (x)) = 1 - x^{2}

Utiliser l'identité suivante :

cos (arcsin (x)) = 1 - x^{2}

Utiliser l'identité suivante :

cos (arccos (x)) = x

Utiliser l'identité suivante :

sin (arcsin (x)) = x

1 - x^{2} 1 - x^{2} - xx = 1 - x

Résoudre

1 - x^{2} 1 - x^{2} - xx = 1 - x : x = 0, x = \frac{1}{2}

1 - x^{2} 1 - x^{2} - xx = 1 - x

Développer

1 - x^{2} 1 - x^{2} - xx : 1 - 2 x^{2}

1 - x^{2} 1 - x^{2} - xx

1 - x^{2} 1 - x^{2} = 1 - x^{2}

1 - x^{2} 1 - x^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

1 - x^{2} 1 - x^{2} = 1 - x^{2}

= 1 - x^{2}

xx = x^{2}

xx

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= x^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= x^{2}

= 1 - x^{2} - x^{2}

Redéfinir

= 1 - 2 x^{2}

1 - 2 x^{2} = 1 - x

Résoudre

1 - 2 x^{2} = 1 - x : x = 0, x = \frac{1}{2}

1 - 2 x^{2} = 1 - x

Déplacer

x

vers la gauche

1 - 2 x^{2} = 1 - x

Ajouter

x

aux deux côtés

1 - 2 x^{2} + x = 1 - x + x

Simplifier

1 - 2 x^{2} + x = 1

1 - 2 x^{2} + x = 1

Déplacer

1

vers la gauche

1 - 2 x^{2} + x = 1

Soustraire

1

des deux côtés

1 - 2 x^{2} + x - 1 = 1 - 1

Simplifier

- 2 x^{2} + x = 0

- 2 x^{2} + x = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 2 x^{2} + x = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 2, b = 1, c = 0

x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

1^{2} - 4 (- 2) \cdot 0 = 1

1^{2} - 4 (- 2) \cdot 0

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 2) \cdot 0

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 2 \cdot 0

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= 1 + 0

Additionner les nombres :

1 + 0 = 1

= 1

Appliquer la règle

1 = 1

= 1

x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1}{2 ( - 2 )}

Séparer les solutions

x_{1} = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 2 )}, x_{2} = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 2 )}

x = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 2 )} : 0

\frac{- 1 + 1}{2 ( - 2 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 1}{- 2 \cdot 2}

Additionner/Soustraire les nombres :

- 1 + 1 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{- 4}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{4}

Appliquer la règle

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

x = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 2 )} : \frac{1}{2}

\frac{- 1 - 1}{2 ( - 2 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 1}{- 2 \cdot 2}

Soustraire les nombres :

- 1 - 1 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{- 4}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{1}{2}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

x = 0, x = \frac{1}{2}

x = 0, x = \frac{1}{2}

Vérifier les solutions:

x = 0

vrai

, x = \frac{1}{2}

vrai

Vérifier des solutions en les intégrant dans

1 - x^{2} 1 - x^{2} - xx = 1 - x

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Insérer

x = 0 :

vrai

1 - 0^{2} 1 - 0^{2} - 0 \cdot 0 = 1 - 0

1 - 0^{2} 1 - 0^{2} - 0 \cdot 0 = 1 - 0

1 - 0^{2} 1 - 0^{2} - 0 \cdot 0

Appliquer la règle

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 1 - 0 1 - 0 - 0 \cdot 0

1 - 0 1 - 0 = 1

1 - 0 1 - 0

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

1 - 0 1 - 0 = 1 - 0

= 1 - 0

Soustraire les nombres :

1 - 0 = 1

= 1

0 \cdot 0 = 0

0 \cdot 0

Multiplier les nombres :

0 \cdot 0 = 0

= 0

= 1 - 0

1 - 0 = 1 - 0

vrai

Insérer

x = \frac{1}{2} :

vrai

1 - (\frac{1}{2})^{2} 1 - (\frac{1}{2})^{2} - (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2}) = 1 - (\frac{1}{2})

1 - (\frac{1}{2})^{2} 1 - (\frac{1}{2})^{2} - (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}

1 - (\frac{1}{2})^{2} 1 - (\frac{1}{2})^{2} - (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2})

Retirer les parenthèses:

(a) = a

= 1 - (\frac{1}{2})^{2} 1 - (\frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}

1 - (\frac{1}{2})^{2} 1 - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{4}

1 - (\frac{1}{2})^{2} 1 - (\frac{1}{2})^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

- (\frac{1}{2})^{2} + 1 - (\frac{1}{2})^{2} + 1 = 1 - (\frac{1}{2})^{2}

= 1 - (\frac{1}{2})^{2}

(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}

(\frac{1}{2})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{2 ^{2}}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{2 ^{2}}

2^{2} = 4

= \frac{1}{4}

= 1 - \frac{1}{4}

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 \cdot 4}{4}

= \frac{1 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 - 1}{4}

1 \cdot 4 - 1 = 3

1 \cdot 4 - 1

Multiplier les nombres :

1 \cdot 4 = 4

= 4 - 1

Soustraire les nombres :

4 - 1 = 3

= 3

= \frac{3}{4}

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}

Multiplier des fractions:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{1}{4}

= \frac{3}{4} - \frac{1}{4}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 - 1}{4}

Soustraire les nombres :

3 - 1 = 2

= \frac{2}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{1}{2}

1 - (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}

1 - (\frac{1}{2})

Retirer les parenthèses:

(a) = a

= 1 - \frac{1}{2}

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 - 1}{2}

1 \cdot 2 - 1 = 1

1 \cdot 2 - 1

Multiplier les nombres :

1 \cdot 2 = 2

= 2 - 1

Soustraire les nombres :

2 - 1 = 1

= 1

= \frac{1}{2}

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

vrai

Les solutions sont

x = 0, x = \frac{1}{2}

x = 0, x = \frac{1}{2}

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

arccos (x) - arcsin (x) = arcsin (1 - x)

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

0 :

vrai

0

Insérer

n = 1

0

Pour

arccos (x) - arcsin (x) = arcsin (1 - x)

insérer

x = 0

arccos (0) - arcsin (0) = arcsin (1 - 0)

Redéfinir

1.57079 \dots = 1.57079 \dots

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

\frac{1}{2} :

vrai

\frac{1}{2}

Insérer

n = 1

\frac{1}{2}

Pour

arccos (x) - arcsin (x) = arcsin (1 - x)

insérer

x = \frac{1}{2}

arccos (\frac{1}{2}) - arcsin (\frac{1}{2}) = arcsin (1 - \frac{1}{2})

Redéfinir

0.52359 \dots = 0.52359 \dots

\Rightarrow vrai

x = 0, x = \frac{1}{2}

Graphe

Exemples populaires

sin^2(x)=|sin(x)|

sin^{2} (x) = ∣ sin (x) ∣

1-cos^2(x)-sin^{22}(x)=0

1 - cos^{2} (x) - sin^{22} (x) = 0

cos(x/4)sin(x/4)=sqrt(3)sin(x/4)cos(x/4)

cos (\frac{x}{4}) sin (\frac{x}{4}) = 3 sin (\frac{x}{4}) cos (\frac{x}{4})

5cos(x)=1+2sin^2(x)

5 cos (x) = 1 + 2 sin^{2} (x)

tan(2x+1)=-cot(x+3)

tan (2 x + 1) = - cot (x + 3)