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Populaire Trigonométrie >

3sin(x)-4sin^3(x)=1-2sin^2(x)

Solution

3 sin (x) - 4 sin^{3} (x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

Solution

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = 0.31415 \dots + 2 πn, x = π - 0.31415 \dots + 2 πn, x = - 0.94247 \dots + 2 πn, x = π + 0.94247 \dots + 2 πn

Degrés

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 1 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 16 2^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 5 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 23 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

3 sin (x) - 4 sin^{3} (x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

Résoudre par substitution

3 sin (x) - 4 sin^{3} (x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

Soit :

sin (x) = u

3 u - 4 u^{3} = 1 - 2 u^{2}

3 u - 4 u^{3} = 1 - 2 u^{2} : u = 1, u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

3 u - 4 u^{3} = 1 - 2 u^{2}

Déplacer

2 u^{2}

vers la gauche

3 u - 4 u^{3} = 1 - 2 u^{2}

Ajouter

2 u^{2}

aux deux côtés

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} = 1 - 2 u^{2} + 2 u^{2}

Simplifier

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} = 1

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} = 1

Déplacer

1

vers la gauche

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} = 1

Soustraire

1

des deux côtés

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} - 1 = 1 - 1

Simplifier

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} - 1 = 0

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} - 1 = 0

Ecrire sous la forme standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- 4 u^{3} + 2 u^{2} + 3 u - 1 = 0

Factoriser

- 4 u^{3} + 2 u^{2} + 3 u - 1 : - (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

- 4 u^{3} + 2 u^{2} + 3 u - 1

Factoriser le terme commun

- 1

= - (4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1)

Factoriser

4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1 : (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1

Utiliser le théorème de la racine rationnelle

a_{0} = 1, a_{n} = 4

Les diviseurs de

a_{0} : 1,

Les diviseurs de

a_{n} : 1, 2, 4

Par conséquent, vérifier les nombres rationnels suivants :

\pm \frac{1}{1 , 2 , 4}

\frac{1}{1}

est une racine de l'expression, donc factorise

u - 1

= (u - 1) \frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 4 u^{2} + 2 u - 1

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

Diviser

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} : \frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

Diviser les coefficients directeurs

4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1

et le diviseur

u - 1 : \frac{4 u ^{3}}{u} = 4 u^{2}

Quotient = 4 u^{2}

Multiplier

u - 1

par

4 u^{2} : 4 u^{3} - 4 u^{2}

Soustraire

4 u^{3} - 4 u^{2}

4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1

pour obtenir un nouveau reste

Reste = 2 u^{2} - 3 u + 1

Par conséquent

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

= 4 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

Diviser

\frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Diviser les coefficients directeurs

2 u^{2} - 3 u + 1

et le diviseur

u - 1 : \frac{2 u ^{2}}{u} = 2 u

Quotient = 2 u

Multiplier

u - 1

par

2 u : 2 u^{2} - 2 u

Soustraire

2 u^{2} - 2 u

2 u^{2} - 3 u + 1

pour obtenir un nouveau reste

Reste = - u + 1

Par conséquent

\frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

= 4 u^{2} + 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Diviser

\frac{- u + 1}{u - 1} : \frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

Diviser les coefficients directeurs

- u + 1

et le diviseur

u - 1 : \frac{- u}{u} = - 1

Quotient = - 1

Multiplier

u - 1

par

- 1 : - u + 1

Soustraire

- u + 1

- u + 1

pour obtenir un nouveau reste

Reste = 0

Par conséquent

\frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

= 4 u^{2} + 2 u - 1

= 4 u^{2} + 2 u - 1

= (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

= - (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

- (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1) = 0

En utilisant le principe du facteur zéro : Si

ab = 0

alors

a = 0

b = 0

u - 1 = 0 or 4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Résoudre

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

u = 1

u = 1

Résoudre

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0 : u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 4, b = 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 25

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 2^{2} + 16

2^{2} = 4

= 4 + 16

Additionner les nombres :

4 + 16 = 20

= 20

Factorisation première de

20 : 2^{2} \cdot 5

20

20

divisée par

220 = 10 \cdot 2

= 2 \cdot 10

10

divisée par

210 = 5 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

Appliquer la règle des radicaux:

n ab = n a n b

= 5 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 5}{2 \cdot 4}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4} : \frac{- 1 + 5}{4}

\frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 + 2 5}{8}

Factoriser

- 2 + 25 : 2 (- 1 + 5)

- 2 + 25

Récrire comme

= - 2 \cdot 1 + 25

Factoriser le terme commun

2

= 2 (- 1 + 5)

= \frac{2 ( - 1 + 5 )}{8}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{- 1 + 5}{4}

u = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4} : - \frac{1 + 5}{4}

\frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 - 2 5}{8}

Factoriser

- 2 - 25 : - 2 (1 + 5)

- 2 - 25

Récrire comme

= - 2 \cdot 1 - 25

Factoriser le terme commun

2

= - 2 (1 + 5)

= - \frac{2 ( 1 + 5 )}{8}

Annuler le facteur commun :

2

= - \frac{1 + 5}{4}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

Les solutions sont

u = 1, u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

Remplacer

u = sin (x)

sin (x) = 1, sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = 1, sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Solutions générales pour

sin (x) = 1

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4} : x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

Solutions générales pour

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4} : x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

Solutions générales pour

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = 0.31415 \dots + 2 πn, x = π - 0.31415 \dots + 2 πn, x = - 0.94247 \dots + 2 πn, x = π + 0.94247 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

sin^2(a)=((2tan(a)))/((1+tan^2(a)))

sin^{2} (a) = \frac{( 2 tan ( a ) )}{( 1 + tan ^{2} ( a ) )}

(tan(a))/2 = 2/11

\frac{tan ( a )}{2} = \frac{2}{11}

sin^2(x)-cos(x)= 1/2

sin^{2} (x) - cos (x) = \frac{1}{2}

cos(x)[3sin(x)-2]=0

cos (x) [3 sin (x) - 2] = 0

sin^3(x)+sin(x)-4=0

sin^{3} (x) + sin (x) - 4 = 0