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Populaire Trigonométrie >

2sin^2(x)+sin^3(x)-1=0

Solution

2 sin^{2} (x) + sin^{3} (x) - 1 = 0

Solution

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.66623 \dots + 2 πn, x = π - 0.66623 \dots + 2 πn

Degrés

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 38.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 141.82729 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

2 sin^{2} (x) + sin^{3} (x) - 1 = 0

Résoudre par substitution

2 sin^{2} (x) + sin^{3} (x) - 1 = 0

Soit :

sin (x) = u

2 u^{2} + u^{3} - 1 = 0

2 u^{2} + u^{3} - 1 = 0 : u = - 1, u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

2 u^{2} + u^{3} - 1 = 0

Ecrire sous la forme standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{3} + 2 u^{2} - 1 = 0

Factoriser

u^{3} + 2 u^{2} - 1 : (u + 1) (u^{2} + u - 1)

u^{3} + 2 u^{2} - 1

Utiliser le théorème de la racine rationnelle

a_{0} = 1, a_{n} = 1

Les diviseurs de

a_{0} : 1,

Les diviseurs de

a_{n} : 1

Par conséquent, vérifier les nombres rationnels suivants :

\pm \frac{1}{1}

- \frac{1}{1}

est une racine de l'expression, donc factorise

u + 1

= (u + 1) \frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1}

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1} = u^{2} + u - 1

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1}

Diviser

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1} : \frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1} = u^{2} + \frac{u ^{2} - 1}{u + 1}

Diviser les coefficients directeurs

u^{3} + 2 u^{2} - 1

et le diviseur

u + 1 : \frac{u ^{3}}{u} = u^{2}

Quotient = u^{2}

Multiplier

u + 1

par

u^{2} : u^{3} + u^{2}

Soustraire

u^{3} + u^{2}

u^{3} + 2 u^{2} - 1

pour obtenir un nouveau reste

Reste = u^{2} - 1

Par conséquent

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1} = u^{2} + \frac{u ^{2} - 1}{u + 1}

= u^{2} + \frac{u ^{2} - 1}{u + 1}

Diviser

\frac{u ^{2} - 1}{u + 1} : \frac{u ^{2} - 1}{u + 1} = u + \frac{- u - 1}{u + 1}

Diviser les coefficients directeurs

u^{2} - 1

et le diviseur

u + 1 : \frac{u ^{2}}{u} = u

Quotient = u

Multiplier

u + 1

par

u : u^{2} + u

Soustraire

u^{2} + u

u^{2} - 1

pour obtenir un nouveau reste

Reste = - u - 1

Par conséquent

\frac{u ^{2} - 1}{u + 1} = u + \frac{- u - 1}{u + 1}

= u^{2} + u + \frac{- u - 1}{u + 1}

Diviser

\frac{- u - 1}{u + 1} : \frac{- u - 1}{u + 1} = - 1

Diviser les coefficients directeurs

- u - 1

et le diviseur

u + 1 : \frac{- u}{u} = - 1

Quotient = - 1

Multiplier

u + 1

par

- 1 : - u - 1

Soustraire

- u - 1

- u - 1

pour obtenir un nouveau reste

Reste = 0

Par conséquent

\frac{- u - 1}{u + 1} = - 1

= u^{2} + u - 1

= (u + 1) (u^{2} + u - 1)

(u + 1) (u^{2} + u - 1) = 0

En utilisant le principe du facteur zéro : Si

ab = 0

alors

a = 0

b = 0

u + 1 = 0 or u^{2} + u - 1 = 0

Résoudre

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

u = - 1

u = - 1

Résoudre

u^{2} + u - 1 = 0 : u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

u^{2} + u - 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

u^{2} + u - 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 1, b = 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 + 4

Additionner les nombres :

1 + 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 \cdot 1}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 5}{2}

u = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 - 5}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 5}{2}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

Les solutions sont

u = - 1, u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

Remplacer

u = sin (x)

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Solutions générales pour

sin (x) = - 1

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2} : x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

Solutions générales pour

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2} :

Aucune solution

sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.66623 \dots + 2 πn, x = π - 0.66623 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

2cos^2(x)=3cos(x)-1

2 cos^{2} (x) = 3 cos (x) - 1

sin^2(x)-4sin(x)+4=0

sin^{2} (x) - 4 sin (x) + 4 = 0

3cos^2(x)-10cos(x)+3=0

3 cos^{2} (x) - 10 cos (x) + 3 = 0

(m+1)sin(x)+2-m=0

(m + 1) sin (x) + 2 - m = 0

sin^5(x)+sin(x)+2sin^2(x)=1

sin^{5} (x) + sin (x) + 2 sin^{2} (x) = 1