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Populaire Trigonométrie >

sin^4(x)+sin^2(x)=sin^6(x)

Solution

sin^{4} (x) + sin^{2} (x) = sin^{6} (x)

Solution

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Degrés

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

sin^{4} (x) + sin^{2} (x) = sin^{6} (x)

Résoudre par substitution

sin^{4} (x) + sin^{2} (x) = sin^{6} (x)

Soit :

sin (x) = u

u^{4} + u^{2} = u^{6}

u^{4} + u^{2} = u^{6} : u = 0, u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{1 - 5}{2}, u = - \frac{1 - 5}{2}

u^{4} + u^{2} = u^{6}

Transposer les termes des côtés

u^{6} = u^{4} + u^{2}

Déplacer

u^{2}

vers la gauche

u^{6} = u^{4} + u^{2}

Soustraire

u^{2}

des deux côtés

u^{6} - u^{2} = u^{4} + u^{2} - u^{2}

Simplifier

u^{6} - u^{2} = u^{4}

u^{6} - u^{2} = u^{4}

Déplacer

u^{4}

vers la gauche

u^{6} - u^{2} = u^{4}

Soustraire

u^{4}

des deux côtés

u^{6} - u^{2} - u^{4} = u^{4} - u^{4}

Simplifier

u^{6} - u^{2} - u^{4} = 0

u^{6} - u^{2} - u^{4} = 0

Ecrire sous la forme standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{6} - u^{4} - u^{2} = 0

Récrire l'équation avec

v = u^{2}, v^{2} = u^{4}

v^{3} = u^{6}

v^{3} - v^{2} - v = 0

Résoudre

v^{3} - v^{2} - v = 0 : v = 0, v = \frac{1 + 5}{2}, v = \frac{1 - 5}{2}

v^{3} - v^{2} - v = 0

Factoriser

v^{3} - v^{2} - v : v (v^{2} - v - 1)

v^{3} - v^{2} - v

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

v^{2} = vv

= v^{2} v - vv - v

Factoriser le terme commun

v

= v (v^{2} - v - 1)

v (v^{2} - v - 1) = 0

En utilisant le principe du facteur zéro : Si

ab = 0

alors

a = 0

b = 0

v = 0 or v^{2} - v - 1 = 0

Résoudre

v^{2} - v - 1 = 0 : v = \frac{1 + 5}{2}, v = \frac{1 - 5}{2}

v^{2} - v - 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

v^{2} - v - 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 1, b = - 1, c = - 1

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4

= 1 + 4

Additionner les nombres :

1 + 4 = 5

= 5

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 5}{2 \cdot 1}

Séparer les solutions

v_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 1}, v_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 1}

v = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 1} : \frac{1 + 5}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 1}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{1 + 5}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 + 5}{2}

v = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 1} : \frac{1 - 5}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 1}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{1 - 5}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 - 5}{2}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

v = \frac{1 + 5}{2}, v = \frac{1 - 5}{2}

Les solutions sont

v = 0, v = \frac{1 + 5}{2}, v = \frac{1 - 5}{2}

v = 0, v = \frac{1 + 5}{2}, v = \frac{1 - 5}{2}

Resubstituer

v = u^{2},

résoudre pour

u

Résoudre

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Appliquer la règle

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Résoudre

u^{2} = \frac{1 + 5}{2} : u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}

u^{2} = \frac{1 + 5}{2}

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}

Résoudre

u^{2} = \frac{1 - 5}{2} : u = \frac{1 - 5}{2}, u = - \frac{1 - 5}{2}

u^{2} = \frac{1 - 5}{2}

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1 - 5}{2}, u = - \frac{1 - 5}{2}

Les solutions sont

u = 0, u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{1 - 5}{2}, u = - \frac{1 - 5}{2}

Remplacer

u = sin (x)

sin (x) = 0, sin (x) = \frac{1 + 5}{2}, sin (x) = - \frac{1 + 5}{2}, sin (x) = \frac{1 - 5}{2}, sin (x) = - \frac{1 - 5}{2}

sin (x) = 0, sin (x) = \frac{1 + 5}{2}, sin (x) = - \frac{1 + 5}{2}, sin (x) = \frac{1 - 5}{2}, sin (x) = - \frac{1 - 5}{2}

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Solutions générales pour

sin (x) = 0

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Résoudre

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = \frac{1 + 5}{2} :

Aucune solution

sin (x) = \frac{1 + 5}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Aucune solution

sin (x) = - \frac{1 + 5}{2} :

Aucune solution

sin (x) = - \frac{1 + 5}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Aucune solution

sin (x) = \frac{1 - 5}{2} : x = arcsin \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = π + arcsin - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{1 - 5}{2}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sin (x) = \frac{1 - 5}{2}

Solutions générales pour

sin (x) = \frac{1 - 5}{2}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = π + arcsin - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

x = arcsin \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = π + arcsin - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 - 5}{2} : x = arcsin - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = π + arcsin \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 - 5}{2}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sin (x) = - \frac{1 - 5}{2}

Solutions générales pour

sin (x) = - \frac{1 - 5}{2}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = π + arcsin \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

x = arcsin - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = π + arcsin \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = arcsin \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = π + arcsin - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = arcsin - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = π + arcsin \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

Puisque l'équation n'est pas définie pour :

arcsin \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, π + arcsin - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, arcsin - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, π + arcsin \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

cos(a)=(-11)/(14)

solvefor x,sin(x/x)=0.7

5cos^2(x)+sin^2(x)=4

cos(u)-1.5sin^2(u)+0.1667=0

3sin(2x-1)=1