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Aide-mémmoire Intégrales


Aide-mémmoire Intégrales

Intégrales communes

\int x^{-1}dx=\ln(x) \int \frac{1}{x} dx=\ln(x)
\int |x|dx=\frac{x\sqrt{{x}^2}}{2} \int e^{x}dx=e^{x}
\int \sin(x)dx=-\cos(x) \int \cos(x)dx=\sin(x)
\int x^{a}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1},\:\quad \:a\ne -1


Intégrales trigonométriques

\int \sec^2(x) dx=\tan(x) \int \csc^2(x) dx =-\cot(x)
\int \frac{1}{\sin^2(x)}dx=-\cot(x) \int \frac{1}{\cos^2(x)}dx=\tan(x)


Intégrales trigonométriques d'un arc

\int \frac{1}{{x}^2+1}dx=\arctan(x) \int \frac{-1}{{x}^2+1}dx=\arccot(x)
\int \frac{1}{\sqrt{1-{x}^2}}dx=\arcsin(x) \int \frac{-1}{\sqrt{1-{x}^2}}dx=\arccos(x)
\int \frac{1}{|x|\sqrt{{x}^2-1}} dx = \arcsec(x) \int \frac{-1}{|x|\sqrt{{x}^2-1}} dx = \arccsc(x)
\int \frac{1}{\sqrt{{x}^2+1}} dx = \arcsinh(x) \int \frac{1}{1-{x}^2} dx = \arctanh(x)
\int \frac{1}{|x|\sqrt{{x}^2+1}} dx = -\arccsch(x)


Intégrales hyperboliques

\int \sech^2(x) dx = \tanh(x) \int \csch^2(x) dx = (-\coth(x))
\int \cosh(x) dx = \sinh(x) \int \sinh(x) dx = \cosh(x)
\int \csch(x) dx = \ln(\tanh(\frac{x}{2})) \int \sec(x) dx = \ln(\tan(x)+\sec(x))


Intégrales de fonctions spéciales

\int \cos(\frac{{x}^2\pi}{2})dx = \C(x) \int \frac{\sin (x)}{x}dx = \Si(x)
\int \frac{\cos (x)}{x}dx = \Ci(x) \int \frac{\sinh (x)}{x}dx = \Shi(x)
\int \frac{\cosh (x)}{x}dx = \Chi(x) \int \frac{\exp (x)}{x}dx = \Ei(x)
\int \exp{-{x}^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\erf(x) \int \exp{{x}^2}dx = \exp{{x}^2}\F(x)
\int \sin(\frac{{x}^2\pi}{2})dx = \S(x) \int \sin({x}^2)dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\S(\sqrt{\frac{2}{\pi}}x)
\int \frac{1}{\ln(x)}dx=\li(x)


Règles des intégrales indéfinies

Intégration par morceaux \int \:uv'=uv-\int \:u'v
Intégrale d'une constante \int f\left(a\right)dx=x\cdot f\left(a\right)
Retirer la constante \int a\cdot f\left(x\right)dx=a\cdot \int f\left(x\right)dx
Règle de la somme \int f\left(x\right)\pm g\left(x\right)dx=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx
Ajouter une constante à la solution \mathrm{Si}\:\frac{dF(x)}{dx}=f(x)\:\mathrm{alors}\:\int{f(x)}dx=F(x)+C
Règle de puissance \int x^{a}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1},\:\quad \:a\ne -1
Subsitution d'une intégrale \int f\left(g\left(x\right)\right)\cdot g^'\left(x\right)dx=\int f\left(u\right)du,\:\quad u=g\left(x\right)


Règles des intégrales définies

Définir les limites d'une intégrale
\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)
=\lim_{x\to b-}(F(x))-\lim _{x\to a+}(F(x))
Fonction impaire \mathrm{Si}\:f\left(x\right)=-f\left(-x\right)\Rightarrow\int _{-a}^{a}f(x)dx=0
Points non définis
\mathrm{Si\:existe\:b,\:a\lt\:b\lt\:c,\:et}\:f\left(b\right)=\mathrm{non défini},
\mathrm{Alors}\:\int _a^c\:f\left(x\right)dx=\int _a^b\:f\left(x\right)dx+\int _b^c\:f\left(x\right)dx
Même points définis \int _a^a\:f\left(x\right)dx=0


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