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Aide-mémmoire Limites


Aide-mémmoire Limites

Propriétés des limites

\mathrm{Si\:la\:limite\:de\:f(x),\:et\:g(x)\:existe,\:alors\:ce\:qui suit\:s'applique:}
\lim_{x\to a}(x}=a
\lim_{x\to{a}}[c\cdot{f(x)}]=c\cdot\lim_{x\to{a}}{f(x)}
\lim_{x\to{a}}[(f(x))^c]=(\lim_{x\to{a}}{f(x)})^c
\lim_{x\to{a}}[f(x)\pm{g(x)}]=\lim_{x\to{a}}{f(x)}\pm\lim_{x\to{a}}{g(x)}
\lim_{x\to{a}}[f(x)\cdot{g(x)}]=\lim_{x\to{a}}{f(x)}\cdot\lim_{x\to{a}}{g(x)}
\lim_{x\to{a}}[\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{\lim_{x\to{a}}{f(x)}}{\lim_{x\to{a}}{g(x)}}, \quad "where" \: \lim_{x\to{a}}g(x)\neq0


Propriétés des limites à l'infini

\mathrm{Pour}\:\lim_{x\to c}f(x)=\infty, \lim_{x\to c}g(x)=L,\:\mathrm{ce\:qui\:suit\:s'applique:}
\lim_{x\to c}[f(x)\pm g(x)]=\infty
\lim_{x\to c}[f(x)g(x)]=\infty, \quad L>0
\lim_{x\to c}[f(x)g(x)]=-\infty, \quad L<0
\lim_{x\to c}\frac{g(x)}{f(x)}=0
\lim_{x\to \infty}(ax^n)=\infty, \quad a>0
\lim_{x\to -\infty}(ax^n)=\infty,\quad \mathrm{n\:est\:pair} , \quad a>0
\lim_{x\to -\infty}(ax^n)=-\infty,\quad \mathrm{n\:est\:impair} , \quad a>0
\lim_{x\to \infty}\left(\frac{c}{x^a}\right)=0


Formes indéterminées

0^{0} \infty^{0}
\frac{\infty}{\infty} \frac{0}{0}
0\cdot\infty \infty-\infty
1^{\infty}


Limites communes

\lim _{x\to \infty}((1+\frac{k}{x})^x)=e^k \lim _{x\to \infty}((\frac{x}{x+k})^x)=e^{-k}
\lim _{x\to 0}((1+x)^{\frac{1}{x}})=e


Règles des limites

Limite d'une constante \lim_{x\to{a}}{c}=c
Limite de base \lim_{x\to{a}}{x}=a
Théorème de compression
\mathrm{Soit\:f,\:g\:et\:h\:étant\:des fonctions\:telles\:que\:pour\:tout}\:x\in \left[a,\:b\right]\:
\mathrm{(sauf\:probablement\:au\:point\:limite\:c),\:} f\left(x\right)\le h\left(x\right)\le g\left(x\right)
\mathrm{Cela\:suppose\: aussi\:que,\:}\lim _{x\to c}f\left(x\right)=\lim _{x\to c}g\left(x\right)=L
\mathrm{Alors\:pour\:tout\:}a\le c\le b,\:\lim _{x\to c}h\left(x\right)=L
Règle de L'Hôpital
\mathrm{Pour}\:\lim_{x\to{a}}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right),
\mathrm{Si}\:\lim_{x\to{a}}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{0}{0}\:\mathrm{ou}\:\lim_{x\to a}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\pm\infty}{\pm\infty},
\mathrm{alors}\quad\lim_{x\to{a}}(\frac{f(x)}{g(x)})=\lim_{x\to{a}}(\frac{f ^{'}(x)}{g ^{'}(x)})
Critère de divergence
\mathrm{S'il\:existe\:deux\:suites,}\:\left\{x_n\right\}_{n=1}^{\infty }\:\mathrm{et}\:\left\{y_n\right\}_{n=1}^{\infty }
\mathrm{avec:}
x_n\ne{c},\:\mathrm{et}\:y_n\ne{c}
\lim{x_n}=\lim{y_n}=c
\lim{f(x_n)}\ne\lim{f(y_n)}
\mathrm{Alors}\:\lim_{x\to\:c}f(x)\:\mathrm{n'\:existe\:pas}
Limite de la règle de la chaîne
\mathrm{Si}\:\lim_{u \to b}f(u)=L,\:\mathrm{et}\:\lim_{x \to a}g(x)=b,
\mathrm{et}\:f(x)\:\mathrm{est\:continu\:en}\:x=b
\mathrm{Alors}\:\lim_{x \to a} f(g(x))=L

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