English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Populaire Trigonométrie >

solvefor θ,r^2cos^2(θ)+r^2sin^2(θ)<= 1

Solution

solvefor

Solution

- 1 \leq θ \leq 1

étapes des solutions

r^{2} cos^{2} (θ) + r^{2} sin^{2} (θ) \leq 1

Utiliser les identités suivantes:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Par conséquent

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

r^{2} (1 - sin^{2} (θ)) + r^{2} sin^{2} (θ) \leq 1

Simplifier

r^{2} (1 - sin^{2} (θ)) + r^{2} sin^{2} (θ) : r^{2}

r^{2} (1 - sin^{2} (θ)) + r^{2} sin^{2} (θ)

Développer

r^{2} (1 - sin^{2} (θ)) : r^{2} - r^{2} sin^{2} (θ)

r^{2} (1 - sin^{2} (θ))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = r^{2}, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= r^{2} \cdot 1 - r^{2} sin^{2} (θ)

= 1 \cdot r^{2} - r^{2} sin^{2} (θ)

Multiplier:

1 \cdot r^{2} = r^{2}

= r^{2} - r^{2} sin^{2} (θ)

= r^{2} - r^{2} sin^{2} (θ) + r^{2} sin^{2} (θ)

Additionner les éléments similaires :

- r^{2} sin^{2} (θ) + r^{2} sin^{2} (θ) = 0

= r^{2}

r^{2} \leq 1

Récrire sous la forme standard

r^{2} \leq 1

Soustraire

1

des deux côtés

r^{2} - 1 \leq 1 - 1

Simplifier

r^{2} - 1 \leq 0

r^{2} - 1 \leq 0

Factoriser

r^{2} - 1 : (r + 1) (r - 1)

r^{2} - 1

Récrire

1

comme

1^{2}

= r^{2} - 1^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

r^{2} - 1^{2} = (r + 1) (r - 1)

= (r + 1) (r - 1)

(r + 1) (r - 1) \leq 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

(r + 1) (r - 1)

Trouver les signes de

r + 1

r + 1 = 0 : r = - 1

r + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

r + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

r + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

r = - 1

r = - 1

r + 1 < 0 : r < - 1

r + 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

r + 1 < 0

Soustraire

1

des deux côtés

r + 1 - 1 < 0 - 1

Simplifier

r < - 1

r < - 1

r + 1 > 0 : r > - 1

r + 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

r + 1 > 0

Soustraire

1

des deux côtés

r + 1 - 1 > 0 - 1

Simplifier

r > - 1

r > - 1

Trouver les signes de

r - 1

r - 1 = 0 : r = 1

r - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

r - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

r - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

r = 1

r = 1

r - 1 < 0 : r < 1

r - 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

r - 1 < 0

Ajouter

1

aux deux côtés

r - 1 + 1 < 0 + 1

Simplifier

r < 1

r < 1

r - 1 > 0 : r > 1

r - 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

r - 1 > 0

Ajouter

1

aux deux côtés

r - 1 + 1 > 0 + 1

Simplifier

r > 1

r > 1

Récapituler dans un tableau:

r + 1 r - 1 (r + 1) (r - 1) r < - 1 - - + r = - 1 0 - 0 - 1 < r < 1 + - - r = 1 + 00 r > 1 + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

\leq 0

r = - 1 or - 1 < r < 1 or r = 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

- 1 \leq r < 1 or r = 1

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

r = - 1

- 1 < r < 1

- 1 \leq r < 1

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

- 1 \leq r < 1

r = 1

- 1 \leq r \leq 1

- 1 \leq r \leq 1

- 1 \leq θ \leq 1

Exemples populaires

1-2cos(2x)>sin^2(x)

cos^2(x)>= 1/2

cos^2(x)+(sqrt(2))/2 cos(x)>0

sin(x)>= 0.5

cos(3x)<= (sqrt(3))/2