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Populaire Trigonométrie >

cos^2(x)+(sqrt(2))/2 cos(x)>0

Solution

cos^{2} (x) + \frac{2}{2} cos (x) > 0

Solution

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

La notation des intervalles

(- \frac{π}{2} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{3 π}{4} + 2 πn, \frac{5 π}{4} + 2 πn)

Décimale

- 1.57079 \dots + 2 πn < x < 1.57079 \dots + 2 πn or 2.35619 \dots + 2 πn < x < 3.92699 \dots + 2 πn

étapes des solutions

cos^{2} (x) + \frac{2}{2} cos (x) > 0

Soit :

u = cos (x)

u^{2} + \frac{2}{2} u > 0

u^{2} + \frac{2}{2} u > 0 : u < - \frac{2}{2} or u > 0

u^{2} + \frac{2}{2} u > 0

Récrire sous la forme standard

u^{2} + \frac{2}{2} u > 0

Développer

u^{2} + \frac{2}{2} u : u^{2} + \frac{u}{2}

u^{2} + \frac{2}{2} u

\frac{2}{2} u = \frac{u}{2}

\frac{2}{2} u

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u}{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a = a^{\frac{1}{n}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{1}{2}} u}{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{2 ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{1}} = \frac{1}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{u}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

Soustraire les nombres :

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{u}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Appliquer la règle des radicaux:

a^{\frac{1}{n}} = n a

2^{\frac{1}{2}} = 2

= \frac{u}{2}

= u^{2} + \frac{u}{2}

u^{2} + \frac{u}{2} > 0

Multiplier les deux côtés par

2

u^{2} 2 + \frac{u}{2} 2 > 0 \cdot 2

2 u^{2} + u > 0

2 u^{2} + u > 0

Factoriser

2 u^{2} + u : u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

Factoriser le terme commun

u

= u (2 u + 1)

u (2 u + 1) > 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

u (2 u + 1)

Trouver les signes de

u

u = 0

u < 0

u > 0

Trouver les signes de

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{2}{2}

2 u + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

2 u = - 1

2 u = - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u = - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= u

Simplifier

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Simplifier

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{2}{2}

2 u + 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u + 1 < 0

Soustraire

1

des deux côtés

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplifier

2 u < - 1

2 u < - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u < - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= u

Simplifier

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Simplifier

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{2}{2}

2 u + 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u + 1 > 0

Soustraire

1

des deux côtés

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplifier

2 u > - 1

2 u > - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u > - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= u

Simplifier

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Simplifier

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

Récapituler dans un tableau:

u 2 u + 1 u (2 u + 1) u < - \frac{2}{2} - - + u = - \frac{2}{2} - 00 - \frac{2}{2} < u < 0 - + - u = 0 0 + 0 u > 0 + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

> 0

u < - \frac{2}{2} or u > 0

u < - \frac{2}{2} or u > 0

u < - \frac{2}{2} or u > 0

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) < - \frac{2}{2} or cos (x) > 0

cos (x) < - \frac{2}{2} : \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

cos (x) < - \frac{2}{2}

Pour

cos (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

alors

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn

Simplifier

arccos (- \frac{2}{2}) : \frac{3 π}{4}

arccos (- \frac{2}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arccos (- \frac{2}{2}) = \frac{3 π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{3 π}{4}

Simplifier

2 π - arccos (- \frac{2}{2}) : \frac{5 π}{4}

2 π - arccos (- \frac{2}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arccos (- \frac{2}{2}) = \frac{3 π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{3 π}{4}

Simplifier

2 π - \frac{3 π}{4}

Convertir un élément en fraction:

2 π = \frac{2 π 4}{4}

= \frac{2 π 4}{4} - \frac{3 π}{4}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 4 - 3 π}{4}

2 π 4 - 3 π = 5 π

2 π 4 - 3 π

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= 8 π - 3 π

Additionner les éléments similaires :

8 π - 3 π = 5 π

= 5 π

= \frac{5 π}{4}

= \frac{5 π}{4}

\frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

cos (x) > 0 : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

cos (x) > 0

Pour

cos (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

alors

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn < x < arccos (0) + 2 πn

Simplifier

- arccos (0) : - \frac{π}{2}

- arccos (0)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{2}

Simplifier

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Réunir les intervalles

\frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn or - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

Exemples populaires

sin(x)>= 0.5

cos(3x)<= (sqrt(3))/2

sin(x)>=-1

2cos^2(x)+cos(x)<= 0

3sin(x)<= 3/2